Для решения знаменитой задачи Рачинского можно также использовать и дополнительные знания о закономерностях суммы квадратов. Речь идет именно о тех суммах, которые называются последовательностями Рачинского. Так математически можно доказать, что следующие суммы квадратов равны:
- 32+42 = 52 (обе суммы равняются 25)
- 102+112+122 = 132+142 (сумма равняется 365)
- 212+222+232+242 = 252+262+272 (что составляет 2030)
- 362+372+382+392+402 = 412+422+432+442 (что равняется 7230)
Чтобы найти любую другую последовательность Рачинского, достаточно просто составить уравнение следующего вида (обратите внимание, что всегда в такой последовательности справа количество суммируемых квадратов на один меньше, чем слева):
n2 + (n+1)2 = (n+2)2
Это уравнение сводится к квадратному уравнению и легко решается. В данном случае «n» равняется 3, что соответствует первой последовательности Рачинского, описанной выше (32+42 = 52).
Таким образом, решение знаменитого примера Рачинского, можно произвести в уме еще быстрее, чем было описано в данной статье, просто зная вторую последовательность Рачинского, а именно:
102+112+122+132+142 = 365 + 365
В итоге уравнение с картины Богдана-Бельского принимает вид (365 + 365)/365, что, несомненно, равняется двум.
Также последовательность Рачинского может пригодиться и для решения других задач из сборника 1001 задача для умственного счета Сергея Рачинского.